Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil
intuición para resolver ecuaciones en una variable, también conocido como
Método de Intervalo Medio.1 Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI),
el cual establece que toda función continua f en un intervalo cerrado [a,b]
toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b). Esto es que todo valor
entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo [a,b]. En
caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos, el valor cero sería un valor
intermedio entre f(a) y f(b), por lo que con certeza existe un p en [a,b] que
cumple f(p)=0. De esta forma, se asegura la existencia de al menos una solución
de la ecuación f(a)=0.
El método consiste en lo siguiente:
• Debe
existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x) en el intervalo [a,b]
• A
continuación se verifica que
• Se
calcula el punto medio m del intervalo [a,b] y se evalúa f(m) si ese valor es
igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada
• En caso
de que no lo sea, verificamos si f(m) tiene signo opuesto con f(a) o con f(b)
• Se
redefine el intervalo [a, b] como [a, m] ó [m, b] según se haya determinado en
cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo
El método consiste en lo siguiente:
• Debe
existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x) en el intervalo [a,b]
• A
continuación se verifica que
• Se
calcula el punto medio m del intervalo [a,b] y se evalúa f(m) si ese valor es
igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada
• En caso
de que no lo sea, verificamos si f(m) tiene signo opuesto con f(a) o con f(b)
• Se
redefine el intervalo [a, b] como [a, m] ó [m, b] según se haya determinado en
cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo
• Con este
nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución en un
intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada
El método de bisección es menos eficiente que el método de
Newton, pero es mucho más seguro para garantizar la convergencia. Si f es una
función continua en el intervalo [a, b] y f(a)f(b) < 0, entonces este método
converge a la raíz de f. De hecho, una cota del error absoluto es:
en la n-ésima iteración. La bisección converge linealmente,
por lo cual es un poco lento. Sin embargo, se garantiza la convergencia si f(a)
y f(b) tienen distinto signo.
Si existieran más de una raíz en el intervalo entonces el método
sigue siendo convergente pero no resulta tan fácil caracterizar hacia qué raíz
converge el método.
Algoritmo
Donde los valores iniciales vienen dados por:
Se puede probar que las tres sucesiones convergen al valor de la única
raíz del intervalo:
METODO DE INTERVALOS
intervalos utilizán una propiedad muy importante,
consistente en el hecho del cambio de signo de una función en inmediaciones
de una raíz.
Se llaman métodos de los intervalos porque se necesitan como
mínimo dos valores que forman un intervalo que encierra la raíz.
En la gráfica 2.1 se observa como la función cambia de
+f(x) a
- f(x), cuando pasa por la raíz c .Esto ocurre porque f (c)= 0 y necesariamente la función pasa del cuadrante
positivo al negativo de x. En algunos casos , que se verán más adelante esto no
ocurre así, por ahora se asumirá como se ha mostrado. Los métodos abiertos
utilizan estos cambios de signo para
poder ubicar el la raíz (punto c),
pero es necesario entonce establecer un
intervalo (como el [a,b]).
De igual manera sucede cuando la función pasa por el punto
e, el cambio ocurre de -f(x) a + f(x), para hallar la raíz el método necesita
un intervalo como el [d,f].
Los métodos de Intervalos que se verán en la cátedra son:
a. Método Gráfico
b. Método de
Bisección
c. Método de
Interpolación Lineal
METODO DE SUSTITUCION
El método
de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier
incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a
continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.
En caso
de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por
su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos
despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una
incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método
reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución
este sistema:
En la
primera ecuación, seleccionamos la incógnita por ser la de menor
coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la
despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.
El
siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita en la otra ecuación, para así
obtener una ecuación donde la única incógnita sea la .
Al
resolver la ecuación obtenemos el resultado , y si ahora sustituimos
esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos , con lo que el sistema
queda ya resuelto.
METODO DE IGUALACION
El método
de igualación se puede entender como un caso particular del método de
sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a
continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.
Tomando
el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si
despejamos la incógnita 
en ambas ecuaciones nos queda
de la siguiente manera:
en ambas ecuaciones nos queda
de la siguiente manera:
Como se
puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que
podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.
Una vez
obtenido el valor de la incógnita , se sustituye su valor en
una de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la .
METODO DE REDUCCION
Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas
lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no
lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e
incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente,
mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una
misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A
continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o
cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola
incógnita, donde el método de resolución es simple.
Por ejemplo, en el sistema:
No
tenemos más que multiplicar la primera ecuación por para poder cancelar la
incógnita . Al multiplicar, dicha
ecuación nos queda así:
Si
sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva
ecuación donde la incógnita y ha sido
reducida Y que, en este caso, nos da
directamente el valor de la incógnita N:
El
siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita Xen cualquiera de las ecuaciones
donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de Y
es igual a:
METODO GRAFICO
Rectas que pasan por el punto: (2,4)
Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del
sistema. El método (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano
cartesiano, es decir para un espacio de dimensión 2.
El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método
gráfico se resuelve en los siguientes pasos:
1. Se despeja la incógnita
(y) en ambas ecuaciones.
2. Se construye para cada
una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la tabla de valores
correspondientes.
3. Se representan
gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
4. En este último paso hay
tres posibilidades:
1. Si ambas rectas se
cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las
incógnitas (x,y). "Sistema compatible determinado".
2. Si ambas rectas son
coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas
coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas.
«Sistema compatible indeterminado».
3. Si ambas rectas son
paralelas, el sistema no tiene solución en los reales pero si en los complejos.
METODO DE GAUS
Rectas que pasan por el punto: (2,4)
Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del
sistema. El método (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano
cartesiano, es decir para un espacio de dimensión 2.
MÉTODO POR DETERMINANTES
3x + y = 5
4x + 2y = 8
Determinante = 3 1 3 (2) - (4) (1)
4 2
6 - 4 = 2 Determinante 2
x y
Determinante x = 5 1 5 (2) - (8) (1)
8 2 10 - 8 = 2 Determinante x = 2
T.I y
Determinante y = 3 5 3 (8) - (4) (5)
4 8 24 - 20 = 4 Determinante y = 4
x T.I
Para obtener el resultado de "x" y "y" se divide el
determinante x entre el determinante del sistema. Para obtener y divido el
determinante y entre el determinante del sistema.
x = 2/2 x = 1
y = 4/2 y = 2
